PELUANG / PROBABILITAS
1.1
Pengertian Probabilitas
Dalam kehidupan sehari-hari kita
sering dihadapkan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan memilih yang
mana. Biasanya kita dihadapkan dengan kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian
yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-pintar mengambil sikap jika
menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat kita ingin bepergian,
kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita dihadapkan antara
2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta kemungkinan langit
hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu
permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.
Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian,
suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa
(event) yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0
sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0,
maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa
probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi.
Serta jumlah antara peluang suatu kejadian yang mungkin terjadi dan peluang
suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi adalah satu, jika kejadian tersebut
hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang mungkin akan terjadi.
Contoh ; Ketika doni ingin pergi kerumah temannya, dia
melihat langit dalam keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin
lebih kencang dari biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya.
Bagaimanakah tindakan Doni sebaiknya?
Ketika Doni melihat keadaan seperti itu, maka sejenak
dia berpikir untuk membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan
dia beripotesis bahwa sebentar lagi akan turunya hujan dan kecil kemungkinan
bahwa hari ini akan tidak hujan, mengingat gejala-gejala alam yang mulai
nampak.
Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang
kemungkinan turunnya hujan dan peluang tidak turunnya hujan.
Manfaat probabilitas dalam kehidupan
sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta
meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita
melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain;
·
Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang
sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari
sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.
·
Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas
hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
Menarik kesimpulan secara
tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang
terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya mengambil
atau menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan dating
kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.
·
Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.
Contoh:
Ketika diadakannya sensus
penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data perbandingan antara jumlah penduduk
berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin
perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan hasil sensus pada tahun
2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk berjenis kelamin pria
berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7. Maka pemerintah
dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000 hingga 2010
jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.
Jika tadi
kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatip, hanya
memperhatikan apakkah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi
atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian
secara kuantitatip. Kita bias melihat apakah suatu kejadian berpotensi terjadi
ataukah tidak.
Misalkan
kita memiliki sebuah dadu yang memiliki muka gambar dan angka,jika koin
tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2 pilihan
yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang munculnya
gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin hanya terddiri
dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan
gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin
yang mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan
banyaknya kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya
gambar + munculnya angka.
Jika kita
berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang mungkin
terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh
suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut membentuk kejadian
A, maka probabilitas A
adalah :
Dimana : nA= banyaknya kejadian
N= kejadian
seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh.
Suatu mata uang logam yang masing-masing
sisinya berisi gambar dan angka dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali.
Berapakah probabilitas munculnya gambar
atau angka?
Jawab :
n=1, N=2
p(gambar
atau angka)=
p(gambar atau angka)=1/2 atau 50%
Dapat disimpulkan peluang munculnya
gambar atau angka adalah sama besar.
Contoh 2.
Berapa
peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan?
Jika kita tinjau pada sebuah dadu hanya memiliki 1
buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu terdapat 6 mata yaitu mata 1
sampai mata 6.
Maka
P(A) = nA/N
= 1/6
Berikut
merupakan aturan dalam probabilitas
·
Jika n = 0
makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah sebesar P(A) =
0 atau tidak mungkin terjadi.
·
Jika n
merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau kejadian
tersebut pasti akan terjadi
·
Probabilitas
suatu kejadian memiliki rentangan nilai
·
Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka
berlaku
HUBUNGAN ANTAR KEJADIAN
1 EXCLUSIVE EVENT
Exclusive
event merupakan 2 kejadian atau lebih jika terjadinya kejadian yang satu mencegah terjadinya
kejadian lain.
Exclusive
event biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Jika dalam
suatu peristiwa terdiri dari k buah
kejadian maka dapat dirumuskan sebagai berikut.
P(E1 atau
E2 atau.... Ek)= P(E1)+P(E2)+…P(Ek)
Contoh.
Sebuah kotak
berisi
1.
10 kelereng
merah,
2. 20 hijau,
3 3. 0 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah
kelereng secara acak
Berapa probabilitas terambilnya
hijau atau kuning?
JAWAB :P(A)
=
P(B) =
P(C)=
Maka peluang
terambilnya kelereng hijau atau kuning adalah
P(B)+P(C) =
0,33 + 0,50 = 0,83
DEPENDENT EVENT
Dependent
event adalah terjadinya suatu peristiwa merupakan syarat dari peristiwa yang
lainnya.
Jika
kejadian yang satu menjadi syarat
terjadinya kejadian yang lain ditulis
A|B, Kita tulis A |B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului
terjadinya peristiwa B. peluangnya ditulis dengan p(A |B) dan disebut dependent
probability (probabilitas bersyarat). Untuk dependent events dihubungkan dengan
kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan
B)=p(B).p (A |B)
Peluangnya
ditulis dengan P (A│B) dan disebut dependent probability
Dependent
event biasanya dihubungkan dengan kata “dan”.
Contoh.
Sebuah kotak
berisi
A.
10 kelereng
merah,
B.
20 hijau,
C.
30 kuning.
Isi kotak diaduk dan diambil 1 buah
kelereng secara acak
jika pengambilan pertama sebuah kelereng
berwarna hijau
(tanpa pengembalian). Berapakah
probabilitas terambilnya sebuah
kelereng berwarna merah pada
pengambilan kedua?
Jawa
b. Merupakan
peluang kelereng warna hijau pada pengambilan pertama dan kelelereng warna
merah pada pengambilan kedua.
INDEPENDENT EVENT
Dua kejadian
atau lebih dinamakan Independent Events, jika kejadian yang satu tidak
mempengaruhi kejadian yang lain.
Misalnya dua kejadian A dan B. Jika
terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya
kejadian B, maka A dan B disebut Independent Events. Untuk Independent Events
dihubungkan dengan kata dan, sehingga berlaku hubungan:
P(A dan B ) = p(A).p(B)
Untuk berlaku k buah peristiwa
berlaku:
p(E1
dan E2 dan…..dan Ek )
= p(E1 ).p(E2
)….p(Ek )
contoh.
Dua buah dadu dilemparkan secara bebas satu kali. Berapakah probabilitas
munculnya mata 2 dan 6 dari pelemparan tersebut?
jawab
INCLUSIVE EVENT
Dua
kejadian atau lebih dinamakan saling Inclusive events jika terjadinya kejadian
yang satu tidak mencegah terjadinya kejadian yang lain.
Inclusive
events biasanya dihubungkan dengan kata atau.
Misalnya
kejadian A dan B merupakan kejadian Inclusif, berlaku hubungan atau A atau B
atau kedua-keduanya terjadi. Untuk peristiwa tersebut berlaku:
P(A+B) =
P(A) + P(B) - P(A+B)
Contoh.
Jika probabilitas kelahiran wanita dan pria adalah sama, dan probabilitas
kelahiran anak berkulit putih, kulit hitam, dan sawo matang masing-masing
adalah 0,2 , 0,5 , dan 0,3. Berapakah besarnya probabilitas kelahiran anak
wanita yang berkulit putih?
Jawab.
Probabilitas kelahiran pria dan wanita adalah sama,
sehingga p(pa atau w)= 0,50.
Probabilitas wanita-kulit putih=(0,50)(0,2)=0,1
P(W+P)= 0,50+0,2-0,1=0,6
Hubungan probabilitas
teoritik dengan probabilitas empirik dapat dijelaskan melalui contoh dari
pelemparan sebuah mata uang logam yang masih baik :
A = angka
G = gambar
Probabilitas
teoritik
Kemungkinan/
probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang berlainan serta
asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar kemungkinan yang
sama (equally likely basis).
Penggunaannya
Suatu koin (uang logam)
DILEMPAR 1 KALI:
P(A)=0,50(50%)
P(G)= 0,50(50%)
DIILEMPAR 10 KALI:
P(A)= 0,50X10 kali=5 kali
P(G)= 0,50X10 kali=5 kali
Contoh.
Dalam
permainan ini standar kartu 52 dek kartu remi yang digunakan.
Dalam
rangka untuk menang Anda harus memilih "kartu wajah."
Berapa
probabilitas bahwa Anda akan memenangkan permainan ini?
JAWAB:
Secara
teori:
·
Setiap kartu di dek memiliki kesempatan yang sama untuk terambil.
·
Ada 12 wajah kartu (kartu menang) di geladak.
Oleh karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:
Oleh karena itu probabilitas menang pada permainan berikutnya adalah:
Probabilitas
Empirik.
Kemungkinan tentang terjadinya suatu
peristiwa yang dihitung atas dasar pengalaman-pengalaman atau
percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada saat-saat yang sama di masa
yang lalu atau atas dasar catatan statistik.
Karena
dalam menentukan probabilitas empiris Anda benar-benar melakukan percobaan,
kadang-kadang probabilitas empirik disebut:
"eksperimental probabilitas."
"eksperimental probabilitas."
Pada kenyataannya sangat jarang
terjadi demikian, karena ada kemungkinan muncul
jumlah angka atau gambar yang bervariasi dalam 10 kali pelemparan.
Kemungkinannya tidak hanya berkisar
antara 5G dan 5A, namun bisa saja kemungkinanmunculnya angka dan gambar
adalah 3G dan 7A, 4G dan 6A, dan
lainnya.
Sebagai contoh, suatu
produsen radio, produksi 1000 buah radionya diuji secara acak. Setelah pengujian,
mereka menemukan 15 dari 1000 radio tersebut cacat.
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:
Kita dapat dengan mudah menentukan bahwa probabilitas empiris bahwa radio rusak akan menjadi:
Sebagai desimal akan menjadi
0,15 dan sebagai suatu persen itu akan menjadi
= 1,5%.
Sekarang produsen dapat menggunakan hasil ini untuk memprediksi bahwa dalam produksi 7.500 radio, 1,5% dari mereka mungkin akan rusak.
Jadi mereka memprediksi
bahwa (0,15) (7500) = 112,5 radio rusak.
3.5. Menghitung Nilai Harap (ekspektasi) dari suatu
kejadian.
Contoh:
Ani
dan Ina bertaruh dalam pelemparan muka dadu. Jika dalam pelemparan tersebut
nampak angka ganjil, maka Ani kalah dan harus membayar kepada Ina Rp 1.000,-.
Dan jika nampak angka genap, maka Ina kalah dan harus membayar kepda ani Rp
1.000,-. Peluang munculnya angka genap dan angka ganjil pada dadu masing-masing
adalah 1/2. Jadi peluang Ani untuk membayar uang kepda Ina adalah ½, dan
peluangnya untuk menang juga ½, sehingga ekspektasi taruhan itu adalah
ξ
(untuk Ani) = ½(Rp100) + ½(-Rp100) = Rp 0.
Untuk
Ina juga berlaku hal yang sama. Berarti dalam jangka waktu yang cukup lama,
dalam permainan ini Ani dan Ina masing-masing menang nol rupiah.
3.6.
Permutasi dan Combinasi
a. Permutasi
Permutasi dapat didefinisikan
sebagai usunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan
mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan
(memperhatikan urutan) anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut
permutasi yang biasanya ditulis dengan lambang huruf P.
Atau dapat dibuat dalam bentuk
perumusan.
Permutasi
Melingkar/Keliling
Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun
anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar
dianggap sama bila didapatkan dua himpunan permutasi yang sama dengan cara
beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam. Banyaknya
permutasi yang disusun secara melingkar adalah (n-1) !
Contoh.
Dalam tahun
ajaran baru setiap kelas dianjurkan untuk membentuk susunan pengurus kelas yang
baru. Jika hanya dipilih 1 ketua kelas, 1 wakil ketua kelas , 1 bendahara dan 1
sekertaris dari 8 orang calon, tentukan kemungkinan yang akan terjadi.
Jawab.
Maka aka nada 1680 kemungkinan atau cara membentuk
susunan pengurus kelas yang baru dari 8 orang calon.
b. Combinasi
Kombinasi didefinisikan sebagai
susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan
mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti
pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang
ditulis dengan lambang C.
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah :
Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r
Susnan pada combinasi tidaklah
memperhatikan urutan seperti pada permutasi, oleh daripada itu combinasi n
objek yang diambil dari n adalah sebagai berikut,
Contoh.
Berapa banyaknya kemungkinan
pasangan antara calon presiden dan wakil presiden jika ada 8 buah calon.
Jawab.
Karena ditanya pasangan, maka akan
dibentuk tim yang terdiri dari 2 orang dari 8 calon, maka dapat dicari dengan
cara.
Maka hanya ada 28 kemungkinan
pasangan yang akan terjadi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar